Wahrscheinlichkeiten ermitteln

[NeuHier6]

Hi! Kann mir einer sagen
welche Wahrscheinlichkeiten hier wol rauskommen:

static int next() {
        Random r = new Random();
        int zufall = r.nextInt(3);
        if (zufall == 2) {
            int zähler = 2;
            while (r.nextBoolean()) {
                zähler++;
            }
            return zähler;
        } else {
            return zufall;
        }
}

Meine Vermutung ist:
0 = 1/3
1 = 1/3
2 = 1/6
3 = 1/12
4 = 1/24
5 = 1/48
u.s.w.

Und das konvagiert nach 1.
ABER stimmt das auch?

 

[httpdigest]

Sieht gut aus, ja.
Die Wahrscheinlichkeiten für die durch den then-Zweig und die Schleife generierten Zahlen 2,3,4,5...etc. aufsummiert ist ja quasi die Folge:
1/3 * (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...)

Die Folge in der Klammer konvergiert gegen 1.
Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/1/2_+_1/4_+_1/8_+_1/16_+_⋯

Das ganze dann durch 3 geteilt konvergiert dann folglich gegen 1/3.
Zusammen mit den Fällen für die Zahlen 1 und 2 hast du also insgesamt:
2/3 + 1/3 * (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64)
Was gegen 1 konvergiert.

 

[httpdigest]

Solche Aufgaben eignen sich auch immer exzellent dazu, die theoretischen Annahmen empirisch zu untermauern. Natürlich reicht das nicht für einen Beweis, es gibt einem aber Sicherheit, dass man mit seiner Vermutung richtig liegt:

import java.util.*;
public class Wahrscheinlichkeiten {
    static Random r = new Random();
    static int next() {
        int zufall = r.nextInt(3);
        if (zufall == 2) {
            int zähler = 2;
            while (r.nextBoolean()) {
                zähler++;
            }
            return zähler;
        } else {
            return zufall;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int N = 20; // <- Zahlen bis maximal hierhin generieren
        int[] numbers = new int[N];
        int C = 100_000_000; // <- Anzahl Versuche
        // Generiere Zufallszahlen
        for (int i = 0; i < C; i++) {
            int num = next();
            if (num >= N)
                continue;
            numbers[num]++;
        }
        double w = 0.0;
        // Ermittle Wahrscheinlichkeiten
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            double e;
            if (i < 2) {
                // Wir erwarten 1/3 Wahrscheinlichkeit
                e = 1.0 / 3.0;
            } else {
                // Wir erwarten 1/3 * (1/2^(i-1)) Wahrscheinlichkeit
                e = 1.0 / (3.0 * Math.pow(2, i - 1));
            }
            // Gibt den relativen Fehler zwischen tatsächlicher und erwarteter Wahrscheinlichkeit aus
            double p = (double) numbers[i] / C;
            System.out.println("E[p[i]] = " + String.format("%.2f", Math.abs(p - e)/e));
            w += p;
        }
        System.out.println("w = " + w);
    }
}

Ausgabe:

E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,01
E[p[i]] = 0,01
E[p[i]] = 0,00
E[p[i]] = 0,05
E[p[i]] = 0,01
E[p[i]] = 0,01
E[p[i]] = 0,05
E[p[i]] = 0,14
w = 0.99999867