Anzahl der Double Zahlen zwischen 0 und 1

[Jenny]

Hallo Leute,
eine kleine Frage: Liege ich richtig, dass der elementare Datentyp double im Bereich zwischen 0 und 1 2^52 verschiedene Zahlen darstellen kann? Oder sind es gar 2^53?

 

[maxxi]

Bin kein Java-Guru, aber ich würde mal folgendes behaupten:

double hat eine 52stellige Mantisse.
Siehe Galileo Computing :: Java ist auch eine Insel (8. Auflage) – 5.2 Fließkommaarithmetik in Java

Dadurch ergibt sich ein Wertebereich von:
0 ... 2^53-1 = 9 007 199 254 740 991

Oder anders ausgedrückt:
Es gibt 2^53 mögliche Werte.

 

[Illuvatar]

Erster Gedanke: Aleph Eins
Zweiter Gedanke: Aber nur wenn man die Kontinuumshypothese als wahr annimmt.
Dritter Gedanke: Moment mal....

 

[0x7F800000]

Liege ich richtig, dass der elementare Datentyp double im Bereich zwischen 0 und 1 2^52 verschiedene Zahlen darstellen kann? Oder sind es gar 2^53?

Imho weder noch.

Bei double hat man in der mantisse 52 bits, und im bias 11 bits. Wir wollen nur positive zahlen kleiner 1, also kann man für normalisierte zahlen 2^10 verschiedene zustände im bias und 2^52 verschiedene zustände in der mantisse abbilden, da bekommt man schonmal 2^62 Zahlen. Dann kommen nochmal die denormalisierten dazu, bias wird komplett auf 0 gesetzt, und man hat immer noch 2^52 möglichkeiten in der mantisse.

Anzahl der normalisierten und denormalisierten zahlen zwischen [0,1] zusammengezählt würde ich also auf 2^62+2^52 schätzen.

 

[0x7F800000]

Ah, übrigens, wenn du paar jahre Zeit hast, kannst du mal nachzählen

public class _ {
	public static void main(String..._){
		long count=1;
		for(double x=0; x<1; x=Math.nextAfter(x,Double.POSITIVE_INFINITY)){
			count++;
		}
		System.out.println(count);
	}
}

 

[Noctarius]

ah, übrigens, wenn du paar jahre zeit hast, kannst du mal nachzählen

public class _ {
	public static void main(string..._){
		long count=1;
		for(double x=0; x<1; x=math.nextafter(x,double.positive_infinity)){
			count++;
		}
		system.out.println(count);
	}
}

looooool

 

[SchonWiederFred]

Etwa ein Viertel der double Zahlen liegt zwischen 0 und 1, also etwa 2^62.

 

[Jenny]

Etwa ein Viertel der double Zahlen liegt zwischen 0 und 1, also etwa 2^62

Bei double hat man in der mantisse 52 bits, und im bias 11 bits. Wir wollen nur positive zahlen kleiner 1, also kann man für normalisierte zahlen 2^10 verschiedene zustände im bias und 2^52 verschiedene zustände in der mantisse abbilden, da bekommt man schonmal 2^62 Zahlen. Dann kommen nochmal die denormalisierten dazu, bias wird komplett auf 0 gesetzt, und man hat immer noch 2^52 möglichkeiten in der mantisse.

Anzahl der normalisierten und denormalisierten zahlen zwischen [0,1] zusammengezählt würde ich also auf 2^62+2^52 schätzen.

Ok, mit 2^52 und 2^53 lag ich offenbar ziemlich falsch. Hab ich das richtig verstanden, da die hälfte der exponentenwerte negativ ist, und die hälfte der mantissenwerte auch (vorzeichenbit), liegt ein viertel der werte insgesamt zwischen 0 und 1. Also 2^64/4 = 2^62.
Aber stimmt das auch exakt?

Der Exponent liegt mit 11 Bit im Wertebereich von 0 bis 2047. Mit Bias 1023 ergibt sich 2047-1023= 1024 positive exponentenwerte (2^1 - 2^1024), 1023 negative exponentenwerte (2^-1 bis 2^-1023) und 2^0.
Bei 2^0 liegt genau 1 Wert (der für 1) im Wertebereich 0-1. Bei 2^-1 bis 2^-1023 sind es alle (da mantisse normaliesiert auf 1-(<2)). Bei 2^1 und größer ist es keiner.
Es müssten also exakt ((2^10 -1)*2^52)+1 = 2^62-2^52 +1 Werte zwischen 0 und 1 liegen. Richtig?
Wieviele Werte liegen dann zwischen 1 und 2? Die Hälfte aller Werte bei Exponent 2^0 und einer bei 2^1. Also Insgesamt 2^51+1, oder? Die präzision ist also ungefähr 2000 mal geringer. Zwischen 1000 und 1001 dürften dann nur noch 2^43 werte liegen.

edit: huch, zwischen 1 und 2 liegen natürlich auch 2^52 zahlen. sind natürlich alle von 2^0. Wie bin ich denn darauf gekommen. Tja...

 

[Spacerat]

Nö... wer lesen kann ist klar im Vorteil

...würde ich also auf 2^62+2^52 schätzen

Das bedeutet, das die gesuchte Anzahl ein wenig mehr als ein Viertel aller Möglichen ist.
Bei anderen Bereichen, zwischen (-)1 und (-)2 z.B. tippe ich mal darauf, das die Anzahl logarhytmisch zur Basis 2 fällt.

 

[Jenny]

Ich kann durchaus lesen (meine Schwierigkeiten liegen eher beim schreiben ), die Frage ist: hast du auch meinen text gelesen?
Warum sollen es denn 2^62 + 2^52 sein und nicht 2^62-2^52?

Mit dem logarithmeschen präzisionsverlust stimm ich dir zu. Das hatte ich mit dem letzten Satz gemeint.

 

[0x7F800000]

Nö... wer lesen kann ist klar im Vorteil

@Spacerat:
Nnaa... Jetzt bitte nichts überstürzen hier^^
Ich hab ja nicht gesagt dass ich mir mit meiner schätzung dermaßen sicher bin, dass ich da unterschied zwischen +-2^52 machen würde. In meinem ersten Beitrag ging es hauptsächlich darum, dass es eher 2^62 als 2^52 sind, also um zehn größenordnungen, und nicht um zehntel prozent. Es könnten auch 2^62-2^52+-irgendwas sein, da müsste man aber schon sehr genau hinguggen, dazu fehlt mir irgendwie die motivation grad^^

edit: also, beim genauen hinsehen ist mir aufgefallen, dass ich den bias 1 zu hoch im gedächtnis hatte. mit B=1023 komme ich auf:
1 zahl (die eins) für 1023 im exponenten
2^52 zahlen jeweils für exponent 1-1022 (normalisiert), sowie exp=0 (denormalisiert)
das sind dann insgesamt
2^52*(2^10-1)+1=2^62-2^52+1
Also hat Jenny anscheinend recht :toll:

 

[Jenny]

Das ist ja schön. Hab ich auch mal recht.
Und endlich die gleitkommazahlen begriffen: zwischen 0,5 und 1 sind es also 2^52 und zwischen 0,25 und 0,5 auch. Also müsste zwischen 0 und 2^-1022 ebenfalls 2^52 Zahlen liegen! Juchu!

 

[Spacerat]

@0x7F800000: Naja... ok... sieht so aus...
Ich hatte eigentlich nur IEEE 754 ? Wikipedia im Sinn. Da heisst es:

Ist eine Zahl zu klein, um in normalisierter Form mit dem kleinsten von Null verschiedenen Exponenten gespeichert zu werden, so werden sie als „denormalisierte Zahl“ gespeichert.

Zu klein bedeutet schlimmstenfalls, eigentlich sogar nur, Werte unter 1. Das wiederum für den Zahlenbereich zwischen 0 und 1, das unbedingt etwas addiert werden muss. Deswegen erschloss sich deine Schätzung für mich von vorneherein als logisch.
@Jenny: ...und ja, ich Habe deinen Beitrag gelesen.

 

[ARadauer]

2^52 is viel...

 

[0x7F800000]

2^52 is viel...

das ist alles relativ relativ... G_52 ist viel :autsch: