Schnitt zweier Ebenen ergibt Gerade

[Knuffi]

Ich hoffe jetzt mal, dass ich im richtigen Unterforum bin

Mein Ziel ist ein Programm für die Analytische Geometrie der Oberstufe (hab ich schon mal erwähnt).

Wenn ich zwei Ebenen miteinander schneide, gibt es im Normalfall eine Gerade. Wenn ich mir das ganze als Gleichungssystem in Parameterform anschaue, dann habe ich drei Gleichungen mit vier Unbekannten (oder eine mit zwei unbekannten bei einer Ebene in Normalen- und einer Ebene in Parameterform bzw. zwei Gleichungen mit drei unbekannten bei beiden Ebenen in Normalenform).

Ich hab schon ein wenig nach dem Lösen von Gleichungssystemen gesucht, bin aber bei einem unterbestimmten GLS noch nicht so richtig fündig geworden, da sollte ja ein Parameter übrig bleiben.

Ich habe vor, die Apache Commons Math zu verwenden, da sie mir auch gleich ein paar Werkzeuge für Vektoren an die Hand geben.
Leider finde ich nirgends gute Tutorials für diesen Fall.

Kann mir jemand den Weg zu einem Tutorial oder so weisen oder sonst irgendwie weiter helfen?

 

[Landei]

Häh?

Eine (nicht-senkrechte) Ebene kann man mit z = ax+by darstellen, also hat man bei zwei Ebenen

z = a * x + b * y  //1. Ebene
z = c * x + d * y  //2. Ebene
a * x + b * y = c * x + d * y //Gleichsetzen
(b-d) y = (c-a) x
y = x* (c-a)/(b-d) //nach y Auflösen

z = a*x  + b*x* (c-a)/(b-d)
z = x * (b*(c-a)/(b-d) + a) //z in Abhängigkeit von x

Also für gegebenes x
y = x* (c-a)/(b-d)
z = x * (b*(c-a)/(b-d) + a)

 

[Knuffi]

Ich glaube in dem "für gegebenes x" liegt das Problem - denn wenn kein x gegeben ist, dann bekomme ich eine Gerade, ansonsten einen Punkt, oder?
Also hat die Lösung des Systems bei nicht gegebenem x einen Parameter. Und ich suche Verfahren in Java, die mir solche Lösungen ausspucken.

 

[Landei]

Ich sehe gerade, ich habe mich vermacht. Aber deinen Einwand verstehe ich trotzdem nicht. x ist doch frei wählber. Eine 2D-Geradengleichung ist doch auch durch y = ax+b gegeben, oder?

z = a * x + b * y  + c //1. Ebene
z = d * x + e * y  + f //2. Ebene
a * x + b * y + c = d * x + e * y + f //Gleichsetzen
(b-e) y = (d-a) x + (f-c)
y = ((d-a) x + (f-c)) / (b-e)
z = a * x + b * ((d-a) x + (f-c)) / (b-e) + c

 

[Knuffi]

Schon klar, dass x frei wählbar ist, aber die Lösung ist zumindest zweidimensional - nämlich eine Gerade. Und DIE will ich irgendwie rausbekommen. Geht das mit dem Matrix-Paket von Common Maths nicht irgendwie?

Du verwendest im Prinzip von beiden Ebenen die Normalengleichung ax1 + bx2 + cx3 + d = 0. Dann hast du zwei Gleichungen und drei unbekannte, also ein unterbestimmtes System. Die Lösung ist (wenn sie nicht gerade identisch sind oder parallel liegen) eine Gerade, hat also einen Parameter übrig.

 

[HimBromBeere]

Eine Gerade ist durch zwei Punkte genau definiert, richtig? Also rechne dir von der Geraden einfach zwei Punkte aus (welche ist völlig wurscht) und berechne darauf basierend Anstieg m und Verschiebung n der Geraden, fertig.

m = (y2 - y1) / (x2 - x1);

n = y2 - (m * x2)

heruas kommt eine wunderbare Gleichung der Form

y = m * x + n

EDIT: hmmm... wie ich soeben feststelle, bewegen wir uns ja 3D das hab ich wohl geflissentlich übersehen ...

 

[Landei]

Wir sind hier aber 3D...

 

[Knuffi]

Auch in 3D kann man sich aus zwei Punkten eine Gerade zusammenstöpseln, aber die Koordinaten werden dabei eher *würg*, weil man sich eher zufällig ein x (oder zwei) raussucht.

Wenn man die Gleichungssysteme löst, dann gibt es dabei meistens schönere Zahlen.

Nochmal die Frage: Kann man mit den Commons Math nicht auch solche unterbestimmten Systeme lösen und dann eine allgemeine Lösung heraus bekommen?

 

[Knuffi]

Ok, ich hab mir das System nochmal angeschaut. In den meisten Fällen löst es mein Problem, wenn ich den Ansatz von Landei weiterverfolge:

Gegeben sind zwei Ebenen mit

E1: ax + by + cz + d = 0
E2: ex + fy + gz + h = 0

Man erhält als Lösung des Systems:

x=(b*(-h-%r1*g)+d*f+%r1*c*f) / (b*e-a*f),
y=-(a*(-h-%r1*g)+d*e+%r1*c*e) / (b*e-a*f),
z=%r1

Was aber, wenn die Nenner der Lösungen 0 sind? Ok, ich könnte vorher das ganze mit einem If abfangen und für diesen Fall neu lösen - macht schon mal mindestens vier eigene Lösungen (a = b = 0, a = e = 0, b = f = 0, e = f = 0), von den dadurch folgenden mit wieder "Nenner = 0" ganz zu schweigen.

Deswegen nochmal die Frage: Kann ich mit den Commons Math solch ein Problem nicht allgemein lösen?

 

[pappawinni]

Also ich würde mal denken, dass für
E1: ax + by + cz + d = 0
E2: ex + fy + gz + h = 0
(a,b,c) einen Normalenvektor der Ebene E1 und
(e,f,g) einen Normalenvektor der Ebene E2 darstellt.
Eine ggf. vorhandene Schnittgerade hat einen RICHTUNGsvektor, der zu den
Normalen der beiden Ebenen senkrecht ist.
=> Kreuzprodukt der Normalenvektoren der Ebenen liefert Richtungsvektor der Geraden.
Fasst man diesen Richtungsvektor, dieser sei (k,m,n), als Normale einer weiteren Ebene durch den Ursprung auf
E3: kx + my + nz = 0
ergibt sich im Schnitt der 3 Ebenen ein Punkt auf der Geraden.
Das sollte für die Punktrichtungsform der Geraden ausreichend sein.

 

[Knuffi]

Yo - das isses!
Ich denke, dann bekomme ich das hin.