Jacobi-Verfahren

[gabse15]

Hallo!
Ich verzweifle schon seit Stunden an der Implementierung des Jacobi-Verfahrens zur iterativen Lösung eines LGS. Kann vielleicht mal kurz jemand drüber schauen?

public class Einzelschrittverfahren {
    public static void main(String[] args) {
        double[][] A = {{10,14,11},{13,-66,14},{11,-13,12}};
        double[] b = {1,1,1};
        double[] xstart = {0,0,0};

        double[] xfertig = jacobi(A,b,xstart,50);
        System.out.println(Arrays.toString(xfertig));
    }

    private static double[] jacobi(double[][] A, double[] b, double[] xalt, int schritte){
        double[] xneu;
        xneu = new double[b.length];
        for (int k = 0; k < schritte; k++) {
            System.arraycopy(b, 0, xneu, 0, b.length);

            for (int i = 0; i < b.length; i++) {
                for (int j = 0; j < b.length; j++) {
                    if (i!=j){
                        xneu[i] = xneu[i] - A[i][j]*xalt[j];
                    }
                }
                xneu[i] = xneu[i]/A[i][i];
            }

            System.arraycopy(xneu, 0, xalt, 0, b.length);

        }
        return xalt;
    }
}

 

[Flown]

Was funktioniert denn nicht? Was soll denn rauskommen?

 

[gabse15]

Rauskommen sollte [-1, 0, 1], das Ergebnis nach 100 Iterationen ist jedoch [0.056422803269165524, 0.0038271055057900838, 0.033588363306690946].

 

[stg]

Ich habe deinen Code nicht überprüft, aber das Ergebnis sieht "richtig" aus. Problem ist, dass das Jacobi-Vefahren nicht in jedem Fall konvergiert, und das ist bei deinem Testfall genau der Fall. Teste deinen Code am besten mit einer strikt diagonal-dominanten Matrix, dann ist die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens in jedem Fall gegeben.

 

[Flown]

Der Algorithmus ist richtig! Man kann hier noch das eine oder andere verständlicher schreiben, aber das ist Geschmackssache.
Wenn du Integer.MAX_VALUE Schritte gehst, dann kommt raus:

[-0.9999999999973006, 8.80104070430124E-15, 0.999999999997535] ~ [-1, 0, 1]

Also passt das schon so.

 

[stg]

Tatsache, hätte ich mal besser nachgerechnet.
Der Spektral-Radius von {{10,0,0},{0,-66,0},{0,0,12}}^(-1) * {{0,-14,-11},{-13,0,13},{-11,-14,0}} ist fast 1, aber immer noch kleiner als 1.
Daher konvergiert auch hier das Jacobi-Verfahren gegen die Lösung, jedoch nur sehr langsam.

 

[gabse15]

Vielen Dank für all eure Hilfe, jetzt ist alles klar!