@ Dow Jones: Könntest du dieses Projekt mit dem Riegman-Integral etwas genauer erklären? Wir haben in Mathe nämlich noch nicht Integralrechnung durchgenommen
Ummm, also Integralrechnung ist schon ein weites Feld. Wenn ihr das noch nicht hattet dann sollte ich dem Mathelehrer nicht vorgreifen. Aber die grundlegende Idee des Herrn Riemann kann ich trotzdem mal zu erklären versuchen.
Also stellen wir uns mal vor wir hätten eine Kurve - z.B. eine mathematische Funktion - gegeben. Diese können wir problemlos in einem Diagramm darstellen (die rote Linie). Was wir nun wissen möchten ist: Welchen Flächeninhalt hat die Fläche unter der Kurve (in blassrosa gezeichnet)?
Anmerkung: Auch wenn es seltsam klingt, für diese Frage gibt es unzählige Anwendungsmöglichkeiten. Es kann durchaus unheimlich nützlich sein den Flächeninhalt berechnen zu können, und genau damit beschäftigt sich die Integralrechnung.
Der Herr Riemann hatte sich nun folgendes überlegt: "Die Fläche eines rechteckigen Klotzes kann ich leicht berechnen. Also male ich mal einige rechteckige Klötze unter die Kurve (die grünen Klötze im Diagramm). Wenn ich die Flächeninhalte der grünen Klötze aufaddiere, dann erhalte ich einen Wert, der zwar nicht ganz dem Inhalt der rosa Fläche entspricht, aber zumindest irgendwo in der Nähe liegt. Genauer gesagt: Ich weiss,
das die rosa Fläche mindestens so groß ist wie die Summe der grünen Flächen."
Als nächstes hat Herr Riemann dann gelbe Klötze gezeichnet, die - im Gegensatz zu den grünen Klötzen - allesamt über der Kurve lagen. Und hier kam er zu der Erkenntnis,
das die rosa Fläche höchstens so groß ist, wie die Summe der gelben Flächen. Die Summe der grünen Flächen nannte er übrigens
Untersumme, die Summe der gelben Flächen
Obersumme. Man kann das ganze also leicht mathematisch aufschreiben:
Untersumme (grün) ≤ Inhalt der rosa Fläche ≤ Obersumme (gelb)
Das ganze hilft uns bis jetzt nur mäßig viel. Wenn wir dadurch herausbekommen das der Flächeninhalt der rosa Fläche
irgendwas zwischen 10 und 20 Quadratmeter* ist, dann ist das nicht besonders exakt. Also hat sich Herr Riemann überlegt wie man das ganze genauer machen kann. Seine Lösung: Wir nehmen mehr Klötze und machen diese schmaler! (sicher, das ist nichts besonders geistreiches. Da wäre vermutlich auch jeder andere drauf gekommen. Aber es funktioniert, und Herr Riemann hat's eben zuerst gesagt...).
Wenn wir jetzt erneut die Untersumme und die Obersumme ausrechnen, dann bekommen wir heraus das der Inhalt der rosa Fläche
irgendwo zwischen 16,30 und 17,45 Quadratmeter* liegt. Das ist schon sehr viel besser als unsere erste Schätzung mit den breiten Klötzen.
Und jetzt stellt sich natürlich die Frage: Wie schmal müssen unsere Klötze denn sein, damit wir ein ganz genaues Ergebnis erhalten? Im Prinzip müssten sie ja
unendlich schmal sein, und dann bräuchten wir
unendlich viele von ihnen nebeneinander um den Inhalt der rosa Fläche exakt berechnen zu können.
Hmm. Das klingt sinnvoll, aber implementierenn kann man das so nicht**. Herr Riemann war auch etwas gnädiger, er meinte: "die Klötze müssen nur so schmal sein, das die Untersumme gleich der Obersumme wird". Dann gilt natürlich:
Untersumme = rosa Fläche = Obersumme
Das ist schön. Hilft uns aber auch nicht viel weiter. Tatsächlich würde ich beim Implementieren einfach einen "kleinen" Wert für die Klötzchenbreite wählen. 0.001 oder so. Oder den Anwender fragen wie genau er es denn haben möchte. Damit dürfte man schon ziemlich gute Ergebnisse erhalten.
Das ganze ist aber, wie gesagt, nur eine Vermutung zu dem, was dein Lehrer dir vorgeschlagen hat. Vielleicht meinte er ja auch etwas ganz anderes...
* da ich zu faul zum Rechnen war habe ich mir diese Zahlen gerade ausgedacht. Sie stimmen also nicht mit den Diagrammen überein.
** die Mathematik kennt durchaus Mittel und Wege um eben dies zu vollbringen. Das lernt man dann bei der Integralrechnung. Aber zum implementieren wollen wir lieber auf unendlich lange Schleifen, die unendlich kleine Flächen addieren, verzichten.