Verstehe diese Ungleichung nicht...

[b1zarRe]

Hey,

Ich hoffe das ist hier im richtigen Forum(oder doch eher Mathematik Bereich?!).

Ich habe folgende Aufgabe (hier mal mithilfe von Wolfram Alpha):
5*sqrt(x^2-3x) + 4x-6<0 - Wolfram|Alpha

Ich habe die Aufgabe selbst gerechnet und komme bei der Fallunterscheidung auf:
x^2-3x >= 0
(...)
auf [3,INFINITY) V (-INFINITY, 0]

Wenn ich die Aufgabe auflöse, komme ich auf das Intervall:
-1<x<4
also: (-1,4)

Also insgesamt: (-1,4) GESCHNITTEN ([3,INFINITY) V (-INFINITY, 0])
komme ich auf: [3,4) V (-1,0]

=> (-1,0] scheint richtig(siehe Wolfram), aber warum nicht auch [3,4)... was mache ich falsch?!

 

[Marco13]

Oh mann. Man merkt erst, wie lange das ganze her ist (und wie alt man ist) wenn man es mal wieder versucht. 😳 Ich kann nicht mit dem Finger drauf zeigen (was ich jetzt mal auf die Uhrzeit und Schlafmangel schiebe 😀 ) aber ... es hängt wohl damit zusammen, dass
(6/5)-(4/5)x
für x>1.5 negativ wird. Wenn man es quadriert (um die Wurzel auf der anderen Seite wegzubekommen) fällt das negative weg, aber das un-quadrierte ist, weil es negativ ist, nicht größer als das Ergebnis der Wurzel. Vielleicht kannst du dir damit irgendeine "formal sauberere" Begründung basteln... 😳

 

[b1zarRe]

Hey, danke schonmal deine ANtwort zu diesem "tollen Thema"... 😛

Leider verstehe ich gerade garnicht was du mit "(6/5)-(4/5)x" meinst...?!
Oder wie du darauf jetzt kommst?!

 

[Paddelpirat]

Also das Intervall mit [3,4) kann nicht sein. Das erkennst du sofort, wenn du die 3 in deine ursprüngliche Gleichung einsetzt. Da käme dann unter der Wurzel 0 raus und dann hast du 4*3-6<0 und das ist falsch.

Ansonsten fehlt dir neben deiner Ungleichung x^2-3x>=0 noch die zweite Abschätzung x^2-3x<4, die zusätzlich erfüllt sein muss. Die Schnittmenge beider ist dann das Intervall (-1,0].

Edit: Sry, Tippfehler in einer der Formeln.

 

[Marco13]

Leider verstehe ich gerade garnicht was du mit "(6/5)-(4/5)x" meinst...?!

5*sqrt(x^2-3x) + 4x-6<0 <=>
sqrt(x^2-3x) + (4/5)x-(6/5)<0 <=>
sqrt(x^2-3x) < (6/5) - (4/5)x

(P.S: Die Ausrede mit dem Schlafmangel gilt bei mir IMMER außer Samstags, also alles ohne Gewähr 😉 )


EDIT: Im Plot sieht man das auch irgendwie ...

 

[Paddelpirat]

Möchte mich dem Schlafmangel anschließen ;-)

Edit: Jetzt noch mal ein neuer Versuch:

Man hat 5*sqrt(x^2-3x) +4x-6 < 0

Aus der Wurzel sqrt(x^2-3x) kann man zunächst folgern, dass x^2-3x >= 0 sein muss. Also muss x <=0 oder x >=3 sein.

Weiter weiß man, dass 5*sqrt(x^2-3x) >= 0 ist. Für 5*sqrt(x^2-3x) < 6 -4x kann es daher keine Lösung geben, wenn 6-4x <= 0 ist. Also muss x < 3/2 sein. Damit ist die Grenze nach oben bei 0 festgelegt, da wir ja vorher schon gesehen haben, dass x <=0 oder x >= 3 sein muss.

An die untere Grenze mit -1 bist du ja schon gekommen.

Ohne Gewähr ;-)

 

[Niggel595]

Moin,

wenn du quadrierst, veränderst du zwangsläufig irgendwo plus bzw. minus. Dieses Plus/Minus entscheidet aber maßgeblich darüber, ob der Term größer oder kleiner als 0 ist. Deshalb musst du beim Quadrieren beide Möglichkeiten noch einmal überprüfen. Beim Überprüfen mit einem beliebigen Wert aus dem Intervall [3,4) würdest du bemerken, dass bei den Werten aus diesem Intervall der Term einen Wert größergleich 0 ergibt, und dass dieser Intervall deshalb keine gültige Lösung ist.

Ich hoffe ich konnte helfen^^

LG
Niggel

 

[b1zarRe]

Super danke euch... besonders der letzte Beitrag von Paddelpirat mit dem x<3/2
hat es für mich verständlich gemacht... Vielen Dank!

EDIT: Ich habe dazu noch eine kleinere Frage: Bei Ungleichungen kommen desöfteren
Quadratische Ausdrücke vor... Ist es da EGAL, ob ich dann die PQ-Formel benutze oder
Quadrat. Ergänzung.... Wo liegt der Unterschied?!

 

[Paddelpirat]

EDIT: Ich habe dazu noch eine kleinere Frage: Bei Ungleichungen kommen desöfteren
Quadratische Ausdrücke vor... Ist es da EGAL, ob ich dann die PQ-Formel benutze oder
Quadrat. Ergänzung.... Wo liegt der Unterschied?!

Verstehe die Frage nicht ganz...

 

[b1zarRe]

Nunja, es gibt ja die PQ-Formel:
-p/2 +- WURZELAUS (p/2)^2 - q

sowie die Quadratische Ergänzung:
zb wenn ich sowas in der Form habe:
x^2 + 3 + 13 = 1
<=> x^2 + 3 + (3/2)^2 - (3/2)^2 + 13 = 1
<=> (x+3/2)^2 = -12 + (3/2)^2
(...)

Meine Frage ist nun, ob es EGAL ist, was ich von beidem benutze
oder ob es einen wichtigen Unterschied gibt? Mit beiden kann ich ja
x1 bzw. x2 bestimmen...

 

[Paddelpirat]

Die PQ-Formel lässt sich soweit ich weiß über die quadratische Ergänzung herleiten, kannst du ja mal nach suchen.

Ansonsten finde ich die pq-Formel etwas schneller, weil man bei der quadratischen Ergänzung ja eigentlich die passende Ergänzung "sehen" muss und bei der pq-Formel halt nur mehr oder weniger stumpfsinnig einsetzen und ausrechnen muss.

 

[b1zarRe]

Das ist falsch.

Die Quadratische Ergänzung beruht auch auf einer Formel:
x^2 +- y +- z
<=>
x^2 +-y +(y/2)^2 +- z
<=>
(x +- y/2)^2 +- z