Aussagenlogik

W

Wirtschaftsinformatiker

Bekanntes Mitglied
Seien T,K,F,G und H aussagenlogische Formeln, die keine Aussagensymbole gemein haben. Sei ferner T eine Tautologie, K eine Kontradiktion und F,G und H kontingente Formeln. Zu welcher semantischen Kategorie (tautologisch, kontradiktorisch, kontingent) gehören dann die folgenden Formeln? Begründen Sie dabei stets Ihre Aussage! (Hinweis: Sie kommen mit Wahrheitstafeln ans Ziel. Oft geht es aber ohne Wahrheitstafel einfacher!)

Was bedeutet der Satz ,, Seien T,K,F,G und H aussagenlogische Formeln, die keine Aussagensymbole gemein haben ,,?

Zum Beispiel für diese Aufgabe müssen nicht K, T, F, G, H eine gleiche Wahrheitswert haben? Also müssen sie nicht alle 5 gleichzeitig 0 oder 1 sein?

Screenshot_20220615-233258_Adobe Acrobat.jpg
 
LimDul

LimDul

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Das heißt nach meinen Verständnis, dass sie komplett unabhängig sind.

Wenn z.B. T wäre "(x_1 oder x_2) und x_3", dann kann weder x_1, x_2 oder x_3 in K, F, G oder H auftauchen.

Nachtrag:
Zum Beispiel für diese Aufgabe müssen nicht K, T, F, G, H eine gleiche Wahrheitswert haben? Also müssen sie nicht alle 5 gleichzeitig 0 oder 1 sein?
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Dieser Satz hat zum einen nix mit der Aufgabe zu tun, (Du sollst nur bewerten, in welche Klasse die Aussage fällt, Tautologie, Kontradiktion oder kontigente Formen) und zum anderen wird es schwer das T den Wert 0 hat bzw. K den Wert 1, oder? :)
 
W

Wirtschaftsinformatiker

Bekanntes Mitglied
LimDul hat gesagt.:
Das heißt nach meinen Verständnis, dass sie komplett unabhängig sind.

Wenn z.B. T wäre "(x_1 oder x_2) und x_3", dann kann weder x_1, x_2 oder x_3 in K, F, G oder H auftauchen.

Nachtrag:

Dieser Satz hat zum einen nix mit der Aufgabe zu tun, (Du sollst nur bewerten, in welche Klasse die Aussage fällt, Tautologie, Kontradiktion oder kontigente Formen) und zum anderen wird es schwer das T den Wert 0 hat bzw. K den Wert 1, oder? :)
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Ich habe trotzdem nicht verstanden, woher sollen wir wissen, ob die gemeinsame Symbolen haben oder nicht? Hier sind nur die Formeln T, K, H, G und F. Die haben doch keine Symbolen. Können Sie mir noch genauer Anhang der Aufgabe erkläre?
 
LimDul

LimDul

Top Contributor
Ich habe trotzdem nicht verstanden, woher sollen wir wissen, ob die gemeinsame Symbolen haben oder nicht
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Weil es in der Aufgabe steht:
die keine Aussagensymbole gemein haben
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Da geht es nur darum, dass T, K, F, G oder H unabhängig voneinander sind. Sprich, wenn z.B F 1 ist, hat das keine Auswirkungen drauf, ob z.B. G 0 oder 1 sein kann.

ist die klar, was eine Tautologie, eine Kontradiktion und kontingente Formeln sind?

Was wäre z.B. (T v K) von den dreien?
 
W

Wirtschaftsinformatiker

Bekanntes Mitglied
LimDul hat gesagt.:
Das heißt nach meinen Verständnis, dass sie komplett unabhängig sind.

Wenn z.B. T wäre "(x_1 oder x_2) und x_3", dann kann weder x_1, x_2 oder x_3 in K, F, G oder H auftauchen.

Nachtrag:

Dieser Satz hat zum einen nix mit der Aufgabe zu tun, (Du sollst nur bewerten, in welche Klasse die Aussage fällt, Tautologie, Kontradiktion oder kontigente Formen) und zum anderen wird es schwer das T den Wert 0 hat bzw. K den Wert 1, oder? :)
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Was ist der Unterschied, wenn die gemeinsame Symbolen haben? Wir ändert die Lösung mit gemeinsame Symbolen?
 
W

Wirtschaftsinformatiker

Bekanntes Mitglied
LimDul hat gesagt.:
Weil es in der Aufgabe steht:

Da geht es nur darum, dass T, K, F, G oder H unabhängig voneinander sind. Sprich, wenn z.B F 1 ist, hat das keine Auswirkungen drauf, ob z.B. G 0 oder 1 sein kann.

ist die klar, was eine Tautologie, eine Kontradiktion und kontingente Formeln sind?

Was wäre z.B. (T v K) von den dreien?
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T
LimDul hat gesagt.:
Weil es in der Aufgabe steht:

Da geht es nur darum, dass T, K, F, G oder H unabhängig voneinander sind. Sprich, wenn z.B F 1 ist, hat das keine Auswirkungen drauf, ob z.B. G 0 oder 1 sein kann.

ist die klar, was eine Tautologie, eine Kontradiktion und kontingente Formeln sind?

Was wäre z.B. (T v K) von den dreien?
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Tautologie ist immer 1 und Kontadiktion ist immer 0, did Verknüpfung die beider Formeln mit UND ergibt Tautologie
 
H

httpdigest

Top Contributor
Nein, ist sie nicht. Ich habe mir nur 1) angeguckt, und das ist schon falsch.
Da steht im Prinzip ja: K => ... (egal, was auf der rechten Seite der Implikation steht)
Und jetzt guck dir mal die Wahrheitstabelle für Implikationen an.
Vielleicht solltest du diese Aufgaben doch mit Hilfe von Wahrheitstabellen lösen.
 
B

blaBra

Mitglied
Sei K A, T B, F C und G D, damit man es nicht mit False usw. verwechselt:

Code: 
  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │     1   *1      1 0   1    1   0  1    1    
  1 1 1 0  │     1   *0      1 1   1    0   0  1    0    
  1 1 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1    
  1 1 0 0  │     1   *0      1 1   1    0   1  1    0    
  1 0 1 1  │     0   *1      1 0   0    1   0  0    0    
  1 0 1 0  │     0   *1      1 1   0    1   0  0    0    
  1 0 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1    
  1 0 0 0  │     0   *1      1 1   0    1   1  1    0    
  0 1 1 1  │     0   *1      1 0   1    1   0  1    1    
  0 1 1 0  │     0   *1      1 1   1    0   0  1    0    
  0 1 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1    
  0 1 0 0  │     0   *1      1 1   1    0   1  1    0    
  0 0 1 1  │     1   *1      1 0   0    1   0  0    0    
  0 0 1 0  │     1   *1      1 1   0    1   0  0    0    
  0 0 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1    
  0 0 0 0  │     1   *1      1 1   0    1   1  1    0

Weiterhin:

Code: 
Disjunctive normal form (DNF) of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

(B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ D ∧ C) ∨ (C ∧ ¬B) ∨ (¬D ∧ ¬B)

Quine-McCluskey optimization of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

¬B ∧ ¬D ∨  ¬A ∧ B ∨  A ∧ ¬B ∨  C ∧ D

  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │  1
  1 1 1 0  │  0
  1 1 0 1  │  0
  1 1 0 0  │  0
  1 0 1 1  │  1
  1 0 1 0  │  1
  1 0 0 1  │  1
  1 0 0 0  │  1
  0 1 1 1  │  1
  0 1 1 0  │  1
  0 1 0 1  │  1
  0 1 0 0  │  1
  0 0 1 1  │  1
  0 0 1 0  │  1
  0 0 0 1  │  0
  0 0 0 0  │  1

Verienfacht ist es also: A⊕B oder A=B=C=D. Oder resubstituiert: K⊕T oder K=T=F=G.

Xor hattet ihr doch schon, oder?
 
W

Wirtschaftsinformatiker

Bekanntes Mitglied
blaBra hat gesagt.:
Sei K A, T B, F C und G D, damit man es nicht mit False usw. verwechselt:

Code: 
  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │     1   *1      1 0   1    1   0  1    1   
  1 1 1 0  │     1   *0      1 1   1    0   0  1    0   
  1 1 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1   
  1 1 0 0  │     1   *0      1 1   1    0   1  1    0   
  1 0 1 1  │     0   *1      1 0   0    1   0  0    0   
  1 0 1 0  │     0   *1      1 1   0    1   0  0    0   
  1 0 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1   
  1 0 0 0  │     0   *1      1 1   0    1   1  1    0   
  0 1 1 1  │     0   *1      1 0   1    1   0  1    1   
  0 1 1 0  │     0   *1      1 1   1    0   0  1    0   
  0 1 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1   
  0 1 0 0  │     0   *1      1 1   1    0   1  1    0   
  0 0 1 1  │     1   *1      1 0   0    1   0  0    0   
  0 0 1 0  │     1   *1      1 1   0    1   0  0    0   
  0 0 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1   
  0 0 0 0  │     1   *1      1 1   0    1   1  1    0

Weiterhin:

Code: 
Disjunctive normal form (DNF) of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

(B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ D ∧ C) ∨ (C ∧ ¬B) ∨ (¬D ∧ ¬B)

Quine-McCluskey optimization of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

¬B ∧ ¬D ∨  ¬A ∧ B ∨  A ∧ ¬B ∨  C ∧ D

  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │  1
  1 1 1 0  │  0
  1 1 0 1  │  0
  1 1 0 0  │  0
  1 0 1 1  │  1
  1 0 1 0  │  1
  1 0 0 1  │  1
  1 0 0 0  │  1
  0 1 1 1  │  1
  0 1 1 0  │  1
  0 1 0 1  │  1
  0 1 0 0  │  1
  0 0 1 1  │  1
  0 0 1 0  │  1
  0 0 0 1  │  0
  0 0 0 0  │  1

Verienfacht ist es also: A⊕B oder A=B=C=D. Oder resubstituiert: K⊕T oder K=T=F=G.

Xor hattet ihr doch schon, oder?
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Nein, hatten wir nicht
 
B

blaBra

Mitglied
@Wirtschaftsinformatiker :

Code: 
            →
            │
       ┌────┴───────────────────────┐
       │                            │
       ↔                            ↔
       │                            │
    ┌──┴──┐                     ┌───┴────────────────┐
    │     │                     │                    │
    A     B                     ∧                    ∧
                                │                    │
                      ┌─────────┴──┐             ┌───┴──┐
                      │            │             │      │
                      ∨            B             ∨      D
                      │                          │
                   ┌──┴────┐                ┌────┴──┐
                   │       │                │       │
                   C       ¬                ¬       B
                           │                │
                           D                C
 
W

Wirtschaftsinformatiker

Bekanntes Mitglied
blaBra hat gesagt.:
@Wirtschaftsinformatiker :

Code: 
            →
            │
       ┌────┴───────────────────────┐
       │                            │
       ↔                            ↔
       │                            │
    ┌──┴──┐                     ┌───┴────────────────┐
    │     │                     │                    │
    A     B                     ∧                    ∧
                                │                    │
                      ┌─────────┴──┐             ┌───┴──┐
                      │            │             │      │
                      ∨            B             ∨      D
                      │                          │
                   ┌──┴────┐                ┌────┴──┐
                   │       │                │       │
                   C       ¬                ¬       B
                           │                │
                           D                C
Zum Vergrößern anklicken....
Danke
 
M

Meniskusschaden

Top Contributor
B

blaBra

Mitglied
@Meniskusschaden : Wenn ich mich nicht verschrieben habe:

1655570250977.png

...

Aber du hast absolut recht:

tautology (A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.
www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com

1655571046778.png

Code: 
DNF | (A AND (NOT B)) OR ((NOT A) AND B) OR ((NOT A) AND (NOT D)) OR (C AND D)
CNF | ((NOT A) OR (NOT B) OR C) AND ((NOT A) OR (NOT B) OR D) AND (A OR B OR C OR (NOT D))
ANF | NOT (D XOR (A AND B) XOR (A AND D) XOR (B AND D) XOR (C AND D) XOR (A AND B AND D) XOR (A AND C AND D) XOR (B AND C AND D))
NOR | ((NOT A) NOR (NOT B) NOR C) NOR ((NOT A) NOR (NOT B) NOR D) NOR (A NOR B NOR C NOR (NOT D))
NAND | (A NAND (NOT B)) NAND ((NOT A) NAND B) NAND ((NOT A) NAND (NOT D)) NAND (C NAND D)
AND | (NOT (A AND B AND (NOT C))) AND (NOT (A AND B AND (NOT D))) AND (NOT ((NOT A) AND (NOT B) AND (NOT C) AND D))
OR | (NOT ((NOT A) OR B)) OR (NOT (A OR (NOT B))) OR (NOT (A OR D)) OR (NOT ((NOT C) OR (NOT D)))
(assuming NAND and NOR are n-ary operators)

(A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.
www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com
 
B

blaBra

Mitglied
Code: 
A | B | C | D | A⧦B implies (C ∨ ¬D) ∧ B⧦(¬C ∨ B) ∧ D
T | T | T | T | T
T | T | T | F | F
T | T | F | T | F
T | T | F | F | F
T | F | T | T | T
T | F | T | F | T
T | F | F | T | T
T | F | F | F | T
F | T | T | T | T
F | T | T | F | T
F | T | F | T | T
F | T | F | F | T
F | F | T | T | T
F | F | T | F | T
F | F | F | T | F
F | F | F | F | T

Ohne Zeile 14 und 15 wahr, wäre das viel angenehmer zu vereinfachen...
 
W

Wirtschaftsinformatiker

Bekanntes Mitglied
blaBra hat gesagt.:
@Meniskusschaden : Wenn ich mich nicht verschrieben habe:

Anhang anzeigen 18521

...

Aber du hast absolut recht:

tautology (A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.
www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com

Anhang anzeigen 18523

Code: 
DNF | (A AND (NOT B)) OR ((NOT A) AND B) OR ((NOT A) AND (NOT D)) OR (C AND D)
CNF | ((NOT A) OR (NOT B) OR C) AND ((NOT A) OR (NOT B) OR D) AND (A OR B OR C OR (NOT D))
ANF | NOT (D XOR (A AND B) XOR (A AND D) XOR (B AND D) XOR (C AND D) XOR (A AND B AND D) XOR (A AND C AND D) XOR (B AND C AND D))
NOR | ((NOT A) NOR (NOT B) NOR C) NOR ((NOT A) NOR (NOT B) NOR D) NOR (A NOR B NOR C NOR (NOT D))
NAND | (A NAND (NOT B)) NAND ((NOT A) NAND B) NAND ((NOT A) NAND (NOT D)) NAND (C NAND D)
AND | (NOT (A AND B AND (NOT C))) AND (NOT (A AND B AND (NOT D))) AND (NOT ((NOT A) AND (NOT B) AND (NOT C) AND D))
OR | (NOT ((NOT A) OR B)) OR (NOT (A OR (NOT B))) OR (NOT (A OR D)) OR (NOT ((NOT C) OR (NOT D)))
(assuming NAND and NOR are n-ary operators)

(A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.
www.wolframalpha.com www.wolframalpha.com
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Ist es jetzt Tatologie, bin jetzt durchfnander
 
M

Meniskusschaden

Top Contributor
blaBra hat gesagt.:
@Meniskusschaden : Wenn ich mich nicht verschrieben habe:
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Erpelstolz weiß ja nichts davon, dass A und B (bzw. K und T) Kontradiktion und Tautologie sind. Deshalb kommt dort false heraus.

Bei WolframAlpha hast du die äußere Klammer nicht gesetzt. Deshalb kommt da true heraus. Wenn du sie setzen würdest, käme false heraus, was ebenfalls daran liegt, dass dort nichts über die Kontradiktions- bzw. Tautologie-eigenschaft der beiden Aussagen bekannt ist.
 
B

blaBra

Mitglied
Meniskusschaden hat gesagt.:
Erpelstolz weiß ja nichts davon, dass A und B (bzw. K und T) Kontradiktion und Tautologie sind. Deshalb kommt dort false heraus.

Bei WolframAlpha hast du die äußere Klammer nicht gesetzt. Deshalb kommt da true heraus. Wenn du sie setzen würdest, käme false heraus, was ebenfalls daran liegt, dass dort nichts über die Kontradiktions- bzw. Tautologie-eigenschaft der beiden Aussagen bekannt ist.
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Danke. also sind K und T nicht einfach irgendwelche "wahr/falsch" Variablen... Sie sind mit einer Bedeutung belegt...

Und das WolframAlpha eine äußere Klammer will das wusste ich noch nicht.
 

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