Aussagenlogik

[Wirtschaftsinformatiker]

Seien T,K,F,G und H aussagenlogische Formeln, die keine Aussagensymbole gemein haben. Sei ferner T eine Tautologie, K eine Kontradiktion und F,G und H kontingente Formeln. Zu welcher semantischen Kategorie (tautologisch, kontradiktorisch, kontingent) gehören dann die folgenden Formeln? Begründen Sie dabei stets Ihre Aussage! (Hinweis: Sie kommen mit Wahrheitstafeln ans Ziel. Oft geht es aber ohne Wahrheitstafel einfacher!)

Was bedeutet der Satz ,, Seien T,K,F,G und H aussagenlogische Formeln, die keine Aussagensymbole gemein haben ,,?

Zum Beispiel für diese Aufgabe müssen nicht K, T, F, G, H eine gleiche Wahrheitswert haben? Also müssen sie nicht alle 5 gleichzeitig 0 oder 1 sein?

 

[LimDul]

Das heißt nach meinen Verständnis, dass sie komplett unabhängig sind.

Wenn z.B. T wäre "(x_1 oder x_2) und x_3", dann kann weder x_1, x_2 oder x_3 in K, F, G oder H auftauchen.

Nachtrag:

Zum Beispiel für diese Aufgabe müssen nicht K, T, F, G, H eine gleiche Wahrheitswert haben? Also müssen sie nicht alle 5 gleichzeitig 0 oder 1 sein?

Dieser Satz hat zum einen nix mit der Aufgabe zu tun, (Du sollst nur bewerten, in welche Klasse die Aussage fällt, Tautologie, Kontradiktion oder kontigente Formen) und zum anderen wird es schwer das T den Wert 0 hat bzw. K den Wert 1, oder? 🙂

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Das heißt nach meinen Verständnis, dass sie komplett unabhängig sind.

Wenn z.B. T wäre "(x_1 oder x_2) und x_3", dann kann weder x_1, x_2 oder x_3 in K, F, G oder H auftauchen.

Nachtrag:

Dieser Satz hat zum einen nix mit der Aufgabe zu tun, (Du sollst nur bewerten, in welche Klasse die Aussage fällt, Tautologie, Kontradiktion oder kontigente Formen) und zum anderen wird es schwer das T den Wert 0 hat bzw. K den Wert 1, oder? 🙂

Ich habe trotzdem nicht verstanden, woher sollen wir wissen, ob die gemeinsame Symbolen haben oder nicht? Hier sind nur die Formeln T, K, H, G und F. Die haben doch keine Symbolen. Können Sie mir noch genauer Anhang der Aufgabe erkläre?

 

[LimDul]

Ich habe trotzdem nicht verstanden, woher sollen wir wissen, ob die gemeinsame Symbolen haben oder nicht

Weil es in der Aufgabe steht:

die keine Aussagensymbole gemein haben

Da geht es nur darum, dass T, K, F, G oder H unabhängig voneinander sind. Sprich, wenn z.B F 1 ist, hat das keine Auswirkungen drauf, ob z.B. G 0 oder 1 sein kann.

ist die klar, was eine Tautologie, eine Kontradiktion und kontingente Formeln sind?

Was wäre z.B. (T v K) von den dreien?

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Das heißt nach meinen Verständnis, dass sie komplett unabhängig sind.

Wenn z.B. T wäre "(x_1 oder x_2) und x_3", dann kann weder x_1, x_2 oder x_3 in K, F, G oder H auftauchen.

Nachtrag:

Dieser Satz hat zum einen nix mit der Aufgabe zu tun, (Du sollst nur bewerten, in welche Klasse die Aussage fällt, Tautologie, Kontradiktion oder kontigente Formen) und zum anderen wird es schwer das T den Wert 0 hat bzw. K den Wert 1, oder? 🙂

Was ist der Unterschied, wenn die gemeinsame Symbolen haben? Wir ändert die Lösung mit gemeinsame Symbolen?

 

[LimDul]

Die Aufgabe wäre nicht mehr lösbar. Weil du dann nicht weiß, ob F=1 und G=0 zulässig wäre.

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Weil es in der Aufgabe steht:

Da geht es nur darum, dass T, K, F, G oder H unabhängig voneinander sind. Sprich, wenn z.B F 1 ist, hat das keine Auswirkungen drauf, ob z.B. G 0 oder 1 sein kann.

ist die klar, was eine Tautologie, eine Kontradiktion und kontingente Formeln sind?

Was wäre z.B. (T v K) von den dreien?

T

Weil es in der Aufgabe steht:

Da geht es nur darum, dass T, K, F, G oder H unabhängig voneinander sind. Sprich, wenn z.B F 1 ist, hat das keine Auswirkungen drauf, ob z.B. G 0 oder 1 sein kann.

ist die klar, was eine Tautologie, eine Kontradiktion und kontingente Formeln sind?

Was wäre z.B. (T v K) von den dreien?

Tautologie ist immer 1 und Kontadiktion ist immer 0, did Verknüpfung die beider Formeln mit UND ergibt Tautologie

 

[httpdigest]

Du solltest dir wirklich nochmal alle deine Unterlagen/Mitschriften angucken. Das Symbol "V" ist nicht das UND.

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Du solltest dir wirklich nochmal alle deine Unterlagen/Mitschriften angucken. Das Symbol "V" ist nicht das UND.

Ist meine Lösungen richtig?

 

[httpdigest]

Nein, ist sie nicht. Ich habe mir nur 1) angeguckt, und das ist schon falsch.
Da steht im Prinzip ja: K => ... (egal, was auf der rechten Seite der Implikation steht)
Und jetzt guck dir mal die Wahrheitstabelle für Implikationen an.
Vielleicht solltest du diese Aufgaben doch mit Hilfe von Wahrheitstabellen lösen.

 

[blaBra]

Sei K A, T B, F C und G D, damit man es nicht mit False usw. verwechselt:

  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │     1   *1      1 0   1    1   0  1    1    
  1 1 1 0  │     1   *0      1 1   1    0   0  1    0    
  1 1 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1    
  1 1 0 0  │     1   *0      1 1   1    0   1  1    0    
  1 0 1 1  │     0   *1      1 0   0    1   0  0    0    
  1 0 1 0  │     0   *1      1 1   0    1   0  0    0    
  1 0 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1    
  1 0 0 0  │     0   *1      1 1   0    1   1  1    0    
  0 1 1 1  │     0   *1      1 0   1    1   0  1    1    
  0 1 1 0  │     0   *1      1 1   1    0   0  1    0    
  0 1 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1    
  0 1 0 0  │     0   *1      1 1   1    0   1  1    0    
  0 0 1 1  │     1   *1      1 0   0    1   0  0    0    
  0 0 1 0  │     1   *1      1 1   0    1   0  0    0    
  0 0 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1    
  0 0 0 0  │     1   *1      1 1   0    1   1  1    0

Weiterhin:

Disjunctive normal form (DNF) of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

(B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ D ∧ C) ∨ (C ∧ ¬B) ∨ (¬D ∧ ¬B)

Quine-McCluskey optimization of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

¬B ∧ ¬D ∨  ¬A ∧ B ∨  A ∧ ¬B ∨  C ∧ D

  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │  1
  1 1 1 0  │  0
  1 1 0 1  │  0
  1 1 0 0  │  0
  1 0 1 1  │  1
  1 0 1 0  │  1
  1 0 0 1  │  1
  1 0 0 0  │  1
  0 1 1 1  │  1
  0 1 1 0  │  1
  0 1 0 1  │  1
  0 1 0 0  │  1
  0 0 1 1  │  1
  0 0 1 0  │  1
  0 0 0 1  │  0
  0 0 0 0  │  1

Verienfacht ist es also: A⊕B oder A=B=C=D. Oder resubstituiert: K⊕T oder K=T=F=G.

Xor hattet ihr doch schon, oder?

 

[blaBra]

Ups habe gerade noch zwei Fälle übersehen, es lässt sich nicht weiter vereinfachen als: ¬T ∧ ¬G ∨ ¬K ∧ T ∨ K ∧ ¬T ∨ F ∧ G

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Nein, ist sie nicht. Ich habe mir nur 1) angeguckt, und das ist schon falsch.
Da steht im Prinzip ja: K => ... (egal, was auf der rechten Seite der Implikation steht)
Und jetzt guck dir mal die Wahrheitstabelle für Implikationen an.
Vielleicht solltest du diese Aufgaben doch mit Hilfe von Wahrheitstabellen lösen.

Habe alles korrigiert, ist es jetzt richtig?

 

[blaBra]

4) is keine Tautologie.

 

[Wirtschaftsinformatiker]

4) is keine Tautologie.

4 ist kontigent, nur einige Teilformel ergeben Tatologie, die letzte Zeile ist das Endergebnis.

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Sei K A, T B, F C und G D, damit man es nicht mit False usw. verwechselt:

  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │     1   *1      1 0   1    1   0  1    1   
  1 1 1 0  │     1   *0      1 1   1    0   0  1    0   
  1 1 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1   
  1 1 0 0  │     1   *0      1 1   1    0   1  1    0   
  1 0 1 1  │     0   *1      1 0   0    1   0  0    0   
  1 0 1 0  │     0   *1      1 1   0    1   0  0    0   
  1 0 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1   
  1 0 0 0  │     0   *1      1 1   0    1   1  1    0   
  0 1 1 1  │     0   *1      1 0   1    1   0  1    1   
  0 1 1 0  │     0   *1      1 1   1    0   0  1    0   
  0 1 0 1  │     0   *1      0 0   0    0   1  1    1   
  0 1 0 0  │     0   *1      1 1   1    0   1  1    0   
  0 0 1 1  │     1   *1      1 0   0    1   0  0    0   
  0 0 1 0  │     1   *1      1 1   0    1   0  0    0   
  0 0 0 1  │     1   *0      0 0   0    0   1  1    1   
  0 0 0 0  │     1   *1      1 1   0    1   1  1    0

Weiterhin:

Disjunctive normal form (DNF) of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

(B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ D ∧ C) ∨ (C ∧ ¬B) ∨ (¬D ∧ ¬B)

Quine-McCluskey optimization of
(A↔B)→(((C ∨ ¬D)∧B)↔((¬C ∨ B)∧D))

¬B ∧ ¬D ∨  ¬A ∧ B ∨  A ∧ ¬B ∨  C ∧ D

  A B C D  │  (A ↔ B) → (((C ∨ ¬D) ∧ B) ↔ ((¬C ∨ B) ∧ D))
  ─────────┼─────────────────────────────────────────────
  1 1 1 1  │  1
  1 1 1 0  │  0
  1 1 0 1  │  0
  1 1 0 0  │  0
  1 0 1 1  │  1
  1 0 1 0  │  1
  1 0 0 1  │  1
  1 0 0 0  │  1
  0 1 1 1  │  1
  0 1 1 0  │  1
  0 1 0 1  │  1
  0 1 0 0  │  1
  0 0 1 1  │  1
  0 0 1 0  │  1
  0 0 0 1  │  0
  0 0 0 0  │  1

Verienfacht ist es also: A⊕B oder A=B=C=D. Oder resubstituiert: K⊕T oder K=T=F=G.

Xor hattet ihr doch schon, oder?

Nein, hatten wir nicht

 

[blaBra]

4 ist kontigent

Könnte sein, aber das müsste man anhand der euch in der Vorlesung gegebenen Definitionen bestimmen.

Stell doch wirklich mal Tabellen auf. Und was soll F sein? Aussage oder False/Falsch? Sprich, hat 4) 3 oder 4 Variablen/Literale?

 

[blaBra]

@Wirtschaftsinformatiker : Hier kannst Du die aussagenlogischen Formeln zwecks Überprüfung auch eingeben: https://www.erpelstolz.at/cgi-bin/cgi-form?key=0000f390

 

[blaBra]

@Wirtschaftsinformatiker :

            →
            │
       ┌────┴───────────────────────┐
       │                            │
       ↔                            ↔
       │                            │
    ┌──┴──┐                     ┌───┴────────────────┐
    │     │                     │                    │
    A     B                     ∧                    ∧
                                │                    │
                      ┌─────────┴──┐             ┌───┴──┐
                      │            │             │      │
                      ∨            B             ∨      D
                      │                          │
                   ┌──┴────┐                ┌────┴──┐
                   │       │                │       │
                   C       ¬                ¬       B
                           │                │
                           D                C

 

[Wirtschaftsinformatiker]

@Wirtschaftsinformatiker :

            →
            │
       ┌────┴───────────────────────┐
       │                            │
       ↔                            ↔
       │                            │
    ┌──┴──┐                     ┌───┴────────────────┐
    │     │                     │                    │
    A     B                     ∧                    ∧
                                │                    │
                      ┌─────────┴──┐             ┌───┴──┐
                      │            │             │      │
                      ∨            B             ∨      D
                      │                          │
                   ┌──┴────┐                ┌────┴──┐
                   │       │                │       │
                   C       ¬                ¬       B
                           │                │
                           D                C

Danke

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Danke

Können Sie mir auch bei diese Aufgabe helfen?
Sei

 

[blaBra]

Bei 4) kommt es auch noch auf die Closed world assumption an denke ich 🤷‍♂️

 

[Meniskusschaden]

4) is keine Tautologie.

4 ist kontigent, nur einige Teilformel ergeben Tatologie, die letzte Zeile ist das Endergebnis.

Für mich ist 4 eine Tautologie. Begründung:

(( K <=> T ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(( 0 <=> 1 ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(  0         => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Für mich ist 4 eine Tautologie. Begründung:

(( K <=> T ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(( 0 <=> 1 ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(  0         => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))

Ja stimmt

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Können Sie mir auch bei diese Aufgabe helfen?
Sei
Anhang anzeigen 18504

Können Sie mir auch bei diese Aufgabe helfen?
Sei
Anhang anzeigen 18504

Kannst du mit bitte auch bei diese Aufgabe helfen?

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Danke

Anhang anzeigen 18516
Kannst du mir bitte auch bei diese Aufgabe helfen?

 

[Wirtschaftsinformatiker]

Für mich ist 4 eine Tautologie. Begründung:

(( K <=> T ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(( 0 <=> 1 ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(  0         => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))

Kannst du mir bitte auch bei diese Aufgabe helfen?

 

[blaBra]

@Meniskusschaden : Wenn ich mich nicht verschrieben habe:



...

Aber du hast absolut recht:

tautology (A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

DNF | (A AND (NOT B)) OR ((NOT A) AND B) OR ((NOT A) AND (NOT D)) OR (C AND D)
CNF | ((NOT A) OR (NOT B) OR C) AND ((NOT A) OR (NOT B) OR D) AND (A OR B OR C OR (NOT D))
ANF | NOT (D XOR (A AND B) XOR (A AND D) XOR (B AND D) XOR (C AND D) XOR (A AND B AND D) XOR (A AND C AND D) XOR (B AND C AND D))
NOR | ((NOT A) NOR (NOT B) NOR C) NOR ((NOT A) NOR (NOT B) NOR D) NOR (A NOR B NOR C NOR (NOT D))
NAND | (A NAND (NOT B)) NAND ((NOT A) NAND B) NAND ((NOT A) NAND (NOT D)) NAND (C NAND D)
AND | (NOT (A AND B AND (NOT C))) AND (NOT (A AND B AND (NOT D))) AND (NOT ((NOT A) AND (NOT B) AND (NOT C) AND D))
OR | (NOT ((NOT A) OR B)) OR (NOT (A OR (NOT B))) OR (NOT (A OR D)) OR (NOT ((NOT C) OR (NOT D)))
(assuming NAND and NOR are n-ary operators)

(A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

 

[blaBra]

Für mich ist 4 eine Tautologie. Begründung:

(( K <=> T ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(( 0 <=> 1 ) => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))
(  0         => ((( F v ¬G ) ^ T ) <=> (( ¬F v T ) ^ G )))

@Wirtschaftsinformatiker 4 ist tautologisch.

 

[blaBra]

A | B | C | D | A⧦B implies (C ∨ ¬D) ∧ B⧦(¬C ∨ B) ∧ D
T | T | T | T | T
T | T | T | F | F
T | T | F | T | F
T | T | F | F | F
T | F | T | T | T
T | F | T | F | T
T | F | F | T | T
T | F | F | F | T
F | T | T | T | T
F | T | T | F | T
F | T | F | T | T
F | T | F | F | T
F | F | T | T | T
F | F | T | F | T
F | F | F | T | F
F | F | F | F | T

Ohne Zeile 14 und 15 wahr, wäre das viel angenehmer zu vereinfachen...

 

[Wirtschaftsinformatiker]

@Meniskusschaden : Wenn ich mich nicht verschrieben habe:

Anhang anzeigen 18521

...

Aber du hast absolut recht:

tautology (A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

Anhang anzeigen 18523

DNF | (A AND (NOT B)) OR ((NOT A) AND B) OR ((NOT A) AND (NOT D)) OR (C AND D)
CNF | ((NOT A) OR (NOT B) OR C) AND ((NOT A) OR (NOT B) OR D) AND (A OR B OR C OR (NOT D))
ANF | NOT (D XOR (A AND B) XOR (A AND D) XOR (B AND D) XOR (C AND D) XOR (A AND B AND D) XOR (A AND C AND D) XOR (B AND C AND D))
NOR | ((NOT A) NOR (NOT B) NOR C) NOR ((NOT A) NOR (NOT B) NOR D) NOR (A NOR B NOR C NOR (NOT D))
NAND | (A NAND (NOT B)) NAND ((NOT A) NAND B) NAND ((NOT A) NAND (NOT D)) NAND (C NAND D)
AND | (NOT (A AND B AND (NOT C))) AND (NOT (A AND B AND (NOT D))) AND (NOT ((NOT A) AND (NOT B) AND (NOT C) AND D))
OR | (NOT ((NOT A) OR B)) OR (NOT (A OR (NOT B))) OR (NOT (A OR D)) OR (NOT ((NOT C) OR (NOT D)))
(assuming NAND and NOR are n-ary operators)

(A <=> B) => (((C or ~D) and B) <=> ((~C or B) and D)) - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

Ist es jetzt Tatologie, bin jetzt durchfnander

 

[Meniskusschaden]

@Meniskusschaden : Wenn ich mich nicht verschrieben habe:

Erpelstolz weiß ja nichts davon, dass A und B (bzw. K und T) Kontradiktion und Tautologie sind. Deshalb kommt dort false heraus.

Bei WolframAlpha hast du die äußere Klammer nicht gesetzt. Deshalb kommt da true heraus. Wenn du sie setzen würdest, käme false heraus, was ebenfalls daran liegt, dass dort nichts über die Kontradiktions- bzw. Tautologie-eigenschaft der beiden Aussagen bekannt ist.

 

[blaBra]

Erpelstolz weiß ja nichts davon, dass A und B (bzw. K und T) Kontradiktion und Tautologie sind. Deshalb kommt dort false heraus.

Bei WolframAlpha hast du die äußere Klammer nicht gesetzt. Deshalb kommt da true heraus. Wenn du sie setzen würdest, käme false heraus, was ebenfalls daran liegt, dass dort nichts über die Kontradiktions- bzw. Tautologie-eigenschaft der beiden Aussagen bekannt ist.

Danke. also sind K und T nicht einfach irgendwelche "wahr/falsch" Variablen... Sie sind mit einer Bedeutung belegt...

Und das WolframAlpha eine äußere Klammer will das wusste ich noch nicht.

 

[httpdigest]

also sind K und T nicht einfach irgendwelche "wahr/falsch" Variablen... Sie sind mit einer Bedeutung belegt...

Wie halt im ersten Post definiert:

Seien T,K,F,G und H aussagenlogische Formeln, die keine Aussagensymbole gemein haben. Sei ferner T eine Tautologie, K eine Kontradiktion