Vermutlich hat das TextField noch keinen Focus. Ruf zuerst noch requestFocus() auf, dann sollte es gehen.Habe textfield.positionCaret(n) probiert geht aber nicht.
@FXML
private void onButtonClick(ActionEvent actionEvent) {
counter++;
displayCounter();
textField.requestFocus();
textField.positionCaret(textField.getText().length());
}