Wenn man bedenkt, dass die 5 zwingend an 5. Stelle sein muss -> 40320 Möglichkeiten
An zweiter Stelle dürfen nur gerade Ziffern stehen -> 20160
Welch Potential da noch drin steckt
Das Potential ist wirklich interessant!
Deine zweite Rechnung ist nämlich nicht ganz richtig: Es gibt - abgesehen von der Ziffer 5 - nur noch vier weitere ungerade Ziffern (1, 3, 7, 9). Dazu kommen vier gerade Ziffern (2, 4, 6, 8). Die daraus resultierende Anzahl der Möglichkeiten ist daher nur noch: 4 * 4 * 3 * 3 * 1 * 2 * 2 * 1 * 1 = 576
Wenn man nun weiter grübelt kann man die Aufgabe vielleicht sogar "per Hand" lösen. Lass mal sehen... Schreiben wir die gesuchte Zahl mal als abcdefghi, wobei jeder Buchstabe für eine eigene Ziffer steht und nehmen wir uns die einzelnen Stellen vor:
Die vierte Stelle (d):
Die Zahl abcd soll durch vier teilbar sein. Wir können die Zahl auch schreiben als
a*1000 + b*100 + c*10 + d
Da die ersten beiden Terme ohnehin durch vier teilbar sind brauchen wir sie nicht weiter zu beachten. Bleibt die Bedingung, das c*10 + d durch vier teilbar ist. Für jede ungerade Ziffer c gilt: c*10 mod 4 = 2. Ziffer d muß diesen Rest also zu einer durch vier Teilbaren Zahl "ergänzen", und das schaffen nur die Ziffern 2 und 6. Ziffer d muß also entweder 2 oder 6 sein.
Die achte Stelle (h):
Die Zahl abcdefgh soll durch acht teilbar sein. Wir schreiben sie wieder als
a*10.000.000 + b*1.000.000 + c*100.000 + d*10.000 + e*1.000 + f*100 + g*10 + h*1
Die ersten 5 Terme lassen sich sowieso durch 8 teilen, also kommt es auf die gar nicht an. Bleibt noch die Rechnung f*100 + g*10 + h*1. Da f eine gerade Ziffer ist muß f*100 ein Vielfaches von 200 sein - und ist somit auf jeden Fall ebenfalls durch 8 teilbar. Bleibt g*10 + h*1. Äquivalent zu dem oben gesagten bleibt bei der Rechnung "ungeradeZiffer * 10 mod 8" ein Rest von 2 oder 6 übrig. Die Ziffer h muß diesen Rest also zu einer durch 8 teilbaren Zahl ergänzen, und auch hier kommen nur 2 und 6 in Frage.
Zwischenstand:
d muß 2 oder 6 sein, h ebenfalls. dadurch bleiben für b und f nur noch die Ziffern 4 und 8 übrig. Somit haben wir die Anzahl der Möglichkeiten für die gesuchte Zahl abcdefghi weiter reduziert:
4 * 2 * 3 * 2 * 1 * 1 * 2 * 1 * 1 = 96
Die sechste Stelle
a*100.000 + b*10.000 + c*1.000 + d*100 + e*10 + f*1 soll durch sechs teilbar sein. Dazu muß sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sein. Durch 2 ist sie ohnehin teilbar, da f eine gerade Ziffer ist. Also müssen wir nur noch die Teilbarkeit durch 3 gewährleisten.
Durch Umformen erhalten wir:
(a*100 + b*10 + c*1)*1000 + d*100 + e*10 + f*1
(abc)*1000 + d*100 + e*10 + f*1
Von der Zahl abc wissen wir, das sie durch drei teilbar sein muß. Bleiben noch die restlichen drei Terme: d*100 + e*10 + f*1 Muß durch 3 teilbar sein. Wir wissen schon, das e=5 ist, d=2 oder d=6 sein muß, und dementsprechend f=4 oder f=8 gilt. Da von den vier möglichen Zahlen nur 258 und 654 durch drei teilbar sind wissen wir nun, das f direkt von d abhängt (und natürlich auch die "Komplemente" h und b). Wenn wir für eine der Variablen b, d, f und h eine Ziffer wählen legen wir dadurch automatisch auch die anderen 3 Ziffern fest.
Zwischenstand
a, c, g, i = 1, 3, 7, 9
b = 4 => d = 2, f = 8, h = 6
b = 8 => d = 6, f = 4, h = 2
e = 5
Anzahl der Möglichkeiten: 4 * 2 * 3 * 1 * 1 * 1 * 2 * 1 * 1 = 32
Die dritte Stelle
Es muss gelten: a*100 + b*10 + c*1 ist durch drei teilbar. Wenn a und c durch drei teilbar wären (also 3 und 9 sind), dann müsste b ebenfalls durch drei teilbar sein um die Bedingung zu erfüllen. Da das freilich nicht geht wissen wir schonmal das wir nur entweder 3 oder 9 oder keine der beiden Ziffern verwenden dürfen, aber keinesfalls beide gleichzeitig. Ich greife jetzt mal vor und behaupte: wir benötigen hier genau einer der beiden Ziffern (siehe Begründung zur neunten Stelle).
Wir wissen nun, das a entweder 3 oder 9 sein muß, und c dementsprechend 1 oder 7. Mehr können wir an dieser Stelle nicht über die ungeraden Ziffern aussagen, denn 3 und 9, bzw 1 und 7 liegen bezüglich der Modulo 3 Rechnung in der gleichen Restklasse. Anhand des Quersummentests für die durch-drei-Teilbarkeit kann man weiterhin leicht sehen, das es iim Augenblick egal ist an welcher Stelle die Ziffern stehen (also ob a=3 oder c=3 ist).
Das macht die Entscheidung ob b nun 4 oder 8 ist aber umso leichter: 143 lässt sich nicht durch 3 teilen. Demnach muss b = 8 sein, und dadurch haben wir schonmal alle geraden Ziffern fest verteilt.
Die neunte Stelle
Wir beginnen wieder mit unserer üblichen Schreibweise:
a*100.000.000 + b*10.000.000 + c*1.000.000 + d*100.000 + e*10.000 + f*1.000 + g*100 + h*10 + i soll durch 9 teilbar sein. Durch umformen erhalten wir:
abc*1.000.000 + def*1.000 + g*100 + h*10 + i*1
Wir haben bei der sechsten Stelle bereits gesehen, das sowohl die Zahl abc (und somit auch alle Vielfache davon) als auch die Zahl def Vielfache von drei sind. Damit auch die Zahl ghi ein Vielfaches von drei ist (denn das ist ja Voraussetzung um überhaupt durch 9 teilbar sein zu können) gilt hier, analog zur dritten Stelle, das wir nicht gleichzeitig die Ziffern 3 und 9 verwenden können. Daraus folgt, das wir in abc und ghi jeweils genau eine der beiden Ziffern verwenden müssen. Soweit zur Begründung der obigen These.
Naja, und jetzt bin ich mit meinem Latein auch am Ende. ;(
Immerhin haben wir die Anzahl der möglichen Zahlen auf 16 heruntergebrochen:
183654728
183654927
381654729
381654927
387654129
387654921
783654129
783654921
189654327
189654723
981654327
981654723
789654123
789654321
987654123
987654321
Hat jemand eine Idee was man über die siebte Stelle aussagen kann?
